Bilangan Rasional

Bilangan bulat belum cukup untuk memenuhi berbagai kebutuhan, keperluan, atau kepentingan manusia. Hal-hal yang belum dapat dipenuhi oleh keberadaan bilangan bulat antara lain adalah menyatakan beberapa bagian yang sama dari keseluruhan, menyatakan banyaknya beberapa benda dari sejumlah benda, menyatakan hasil pengukuran (panjang, berat, waktu, luas, isi), menghitung pajak atau upeti barang hasil produksi pertanian dan industri, menghitung nilai uang pembayaran pajak penghasilan usaha, membagi hasil kerja bersama dengan aturan (perbandingan) tertentu, dan melaksanakan tukar barang atau transaksi pembayaran dengan kegiatan jual-beli serta perdagangan. 

Keperluan bilangan selain bilangan bulat sudah diketahui pada awal sejarah peradaban manusia, dan keperluan ini dirasakan mendesak setelah interaksi, komunikasi, dan kehidupan sosial-budaya menjadi lebih intensif dan lebih rumit. Secara nyata masyarakat memerlukan bilangan-bilangan antara 0 dan 1, antara 1 dan 2, antara 2 dan 3, dan seterusnya. 

Setelah berlangsung berabad-abad, matematisi menyadari perlunya merumuskan atau menyatakan keperluan bilangan khusus ini sesuai dengan kasus-kasus sederhana:

 

Untuk menjawab kebuntuan butir 2 di atas, para matematisi kemudian  memperluas bilangan cacah dengan mendefinisikan bilangan-bilangan baru yang dapat digunakan untuk mengganti x sehingga kalimat-kalimat pada butir 2 bernilai benar. 

Untuk mengganti nilai x dari sebarang kalimat yang mempunyai bentuk p : q = x, dengan p dan q adalah bilangan-bilangan cacah dan q ≠ 0, ditulis dalam bentuk , dan bentuk ini disebut pecahan. Pada bentuk , p disebut pembilang (numerator), dan q disebut penyebut (denumerator).