 |
| Lingkaran dalam dan luar segitiga |
Pengertian Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang menyinggung bagian dalam ketiga sisi segitiga tersebut. Pada gambar dibawah, lingkaran yang berpusat di O menyinggung bagian dalam ∆ABC. Gariso OE, OF, dan OD merupakan jari-jari lingkaran dalam. Titik pusat lingkaran dalam suatu segitiga adalah titk potong ketiga segitiga dalam segitiga tersebut.
 |
| Lingkaran dalam segitiga |
Lingkaran luar segitiga segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Pada gambar di bawah, lingkaran yang berpusat di O melalui ketiga titik sudut ∆ABC disebut lingkaran luar segitiga. Garis OA, OB, dan OC merupakan jari-jari lingkaran luar. Titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga tersebut.
Luas Daerah Segitiga
Seperti yang telah diketahui pada umumnya, bahwa suatu segitiga dengan alas (a) dan tinggi (t), luasnya adalah $\frac{1}{2}\cdot a\cdot t$.
Misalkan segitiga ∆ABC, memiliki alas a, dan tinggi t, maka luas segitiga ABC adalah
$L=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t$
Untuk segitiga yang ketiga sisinya diketahui panjangnya, tidak diketahui tinggi segitiga, dapat dihitung menggunakan Rumus Heron. Bentuk rumusnya adalah sebagai berikut.
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dengan :
a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga
s = $\frac{1}{2}$ keliling segitiga = $\frac{1}{2}\cdot (a+b+c)$
L = luas segitiga dengan panjang sisinya masing-masing a, b, dan c.
Dari Rumus Heron dapat dikembangkan untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga.
Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam segitiga ∆ABC berpusat di O dengan jari-jari r.
$CE = CF = s - c$
$BE = BD = s - b$
$AD = AF = s - a$
dengan
a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga
s = $\frac{1}{2}$ keliling segitiga = $\frac{1}{2}\cdot (a+b+c)$
L = luas segitiga dengan panjang sisinya masing-masing a, b, dan c.
r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga
Luas ∆ABC = Luas ∆AOB + Luas ∆ AOC + Luas ∆BOC
$\begin{align}
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}&=\frac{1}{2}\cdot cr + \frac{1}{2}\cdot br + \frac{1}{2}\cdot ar \\
&= \frac{1}{2}\cdot c \cdot (a+b+c) \\
&= c \cdot \frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \\
&= rs
\end{align}$
Maka
$\begin{align}
r&=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s^{2}} \\
&=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s^{2}}} \\
&=\sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s^2}} \\
r&=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}
\end{align}$
Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran dalam segitiga ∆ABC berpusat di O dengan jari-jari R.
Pembuktian rumus luas segitiga lingkaran luar :
*). Luas segitiga ABC berdasarkan aturan sinus dan sudut A
$ \begin{align} \text{Luas ABC } = \frac{1}{2}bc \sin A \end{align} $
*). Besar sudut A = $\frac {1}{2}$ panjang busur BC, dan besar sudut BOD = $\frac {1}{2}$ panjang busur BC, sehingga $sin A = sin (BOD) = \frac{\frac{1}{2}a}{R}$ .
*). Menentukan nilai sin A :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \rightarrow \sin A = \frac{BC}{BA} \rightarrow \sin A = \frac{a}{2r} $
*). Substitusi bentuk $ \sin A = \frac{a}{2r} \, $ ke luas segitiga
$ \begin{align}
\text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc \sin A \\
\text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc . \frac{a}{2r} \\
\text{Luas ABC } & = \frac{abc}{4r}
\end{align} $
Jadi terbukti rumus luas segitiga lingkaran luar.
Luas segitiga ∆ABC $=\frac{1}{2}bc\frac{\frac{1}{2}a}{R}=\frac{abc}{4R}$
Menurut rumus Heron, luas Luas segitiga ∆ABC $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Maka diperoleh;
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{abc}{4R}$
jadi $R=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
Contoh Soal dan Pembahasan
1). Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi segitiganya berturut-turut 4, 6, 8 . Tentukan jari-jari lingkaran dalamnya?
Penyelesaian:
*). Menentukan nilai $ s \, $ dan luas segitiga.
$ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9 $
Luas segitiga ABC dengan Rumus Heron.
$ L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9.(9-4)(9-6)(9-8)} = \sqrt{9.5.3.1} = 3\sqrt{15} $
*). Menentukan jari-jari segitiga dalamnya :
$ r = \frac{\text{Luas ABC }}{s} = \frac{3\sqrt{15}}{9} = \frac{1}{3}\sqrt{15} $
2). Tentukan jari-jari lingkaran luar segitiga ABC yang memiliki sisi-sisi 5, 6, 9 ?
Penyelesaian:
*). Misalkan $ a = 5, \, b = 6, \, c = 9 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = 10 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC
$ \begin{align}
\text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)} \\
& = \sqrt{10.5.4.1} \\
& = 10\sqrt{2}
\end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran luar.
$ \begin{align}
r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\
r & = \frac{5.6.9}{4\times 10\sqrt{2}} \\
r & = \frac{27}{4\sqrt{2}} \\
r & = \frac{27}{8} \sqrt{2}
\end{align} $
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $ r = \frac{27}{8} \sqrt{2} $ .
3). Perhatikan gambar berikut!
Segitiga ABC memiliki panjang BC = 6, AB = 8, AC = 10 .
Tentukan perbandingan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam segitiga?
Penyelesaian:
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = 12 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC.
$ \begin{align}
\text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \\
& = \sqrt{12.6.4.2} \\
& = 24
\end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga ($r_1$)
$ \begin{align}
r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\
r_1 & = \frac{6.8.10}{4\times 24} \\
r_1 & = 5
\end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga ($r_2$)
$ \begin{align}
r & = \frac{\text{Luas ABC }}{s} \\
r_2 & = \frac{24}{12} \\
r_2 & = 2
\end{align} $
*). Menentukan perbandingan jari-jari lingkaran :
$ \begin{align}
\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{2}
\end{align} $
Jadi, perbandingan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam adalah 5 : 2.
Latihan Mandiri
- Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut!
- Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga, keliling lingkaran luar segitiga, dan luas lingkaran luar segitiga
- Perhatikan gambar di bawah ini!
Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 17, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga dan luas daerah yang diarsir.
Pembahasan
1. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut!
Penyelesaian:
Misalkan
a = 23 cm
b = 27 cm
c = 32 cm
s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (23 + 27 + 32)
s = 41 cm
$L\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$L\Delta =\sqrt{41(41-23)(41-27)(41-32)}$
$L\Delta =\sqrt{41(18)(14)(9)}$
$L\Delta =\sqrt{92988}$
$L\Delta = 304,94 cm^2$
$r=\frac{(a \times b \times c)}{4\cdot L\Delta }$
$r=\frac{(23 \times 27 \times 32)}{4\cdot 304,94 }$
$r = \frac {19872}{1219,76}$
$r = 16,3 cm$
2. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga, keliling lingkaran luar segitiga, dan luas lingkaran luar segitiga
Penyelesaian:
Misalkan
a = 8
b = 12
c = 16
s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (8 + 12 + 16)
s = 18 cm
$L\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$L\Delta =\sqrt{18(18-8)(18-12)(18-16)}$
$L\Delta =\sqrt{18(10)(6)(2)}$
$L\Delta =\sqrt{2160}$
$L\Delta = 46,48 cm^2$
$r=\frac{(a \times b \times c)}{4\cdot L\Delta }$
$r=\frac{(8 \times 12 \times 16)}{4\cdot 46,48}$
$r=\frac{1536}{185,92}$
$r = 8,26 cm$
Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:
K = 2Ï€r
K = 2 x 3,14 x 8,26 cm
K = 51,87 cm
Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:
$L = πr^2$
$L = 3,14 x (8,26 cm)^2$
$L = 214,23 cm^2$
3. Perhatikan gambar di bawah ini!
Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 17, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga dan luas daerah yang diarsir.
Penyelesaian:
Misalkan
a = 6
b = 17
c = 19
s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (6 + 17 + 19)
s = 21 cm
$L\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$L\Delta =\sqrt{21(21-6)(21-17)(21-19)}$
$L\Delta =\sqrt{21(15)(4)(2)}$
$L\Delta =\sqrt{2520}$
$L\Delta = 50,20 cm^2$
$r=\frac{(a \times b \times c)}{4\cdot L\Delta }$
$r=\frac{(6 \times 17 \times 19)}{4\cdot 50,2}$
$r = \frac1{938}{200,8}$
$r = 9,65 cm$
Untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:
$L \bigcirc = πr^2$
$L \bigcirc = 3,14 x (9,65 cm)^2$
$L \bigcirc = 292,40 cm^2$
Untuk mencari luas mencari luas yang diarsir yaitu:
$L = L \bigcirc - L\Delta$
$L = 292,40 cm^2 - 50,20 cm^2$
$L = 242,20 cm^2 $
Join the conversation