Menentukan Fungsi F(x) Jika F'(x) dan F(a) diketahui
 |
| maretong.com |
- Mеnеntukаn fungѕі $F(x)$ jika $F'(x)$ dan $F(a)$ dіkеtаhuі;
- Mеnеntukаn реrѕаmааn kurvа јіkа dіkеtаhuі grаdіеn gаrіѕ ѕіnggung dаn tіtіk ѕіnggungnуа;
- Mеnеntukаn јаrаk, kесераtаn dаn реrсераtаn gеrаk ѕuаtu bеndа. Dіmаnа kіtа kеtаhuі bеrlаku hubungаn:
$s(t)=\int v(t)\: dt$ dan $v(t)=\int a(t)\: dt$
Contoh soal dan pembahasan
Pembahasan 1:
Diketahui $f'(x)=6x^{2}+2x$ dan $f(1)=-3$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \int \left( 6x^{2}+2x \right)\ dx\\
&= \frac{6}{2+1}x^{2+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1} +c \\
f(x) &= 2x^{3}+ x^{2} +c \\
\hline
f(1) &= 2(1)^{3}+ (1)^{2} +c \\
-3 &= 2 + 1 +c \\
-3 &=3+ c \longrightarrow c=-6 \\
\hline
f(x) &= 2x^{3}+ x^{2} -6
\end{align}$
Pembahasan 2:
Diketahui $y'=4x-3$ dan untuk $x=2$ diperoleh nilai $y=7$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
y &= \int \left( 4x-3 \right)\ dx\\
&= \frac{4}{1+1}x^{1+1}-3x +c \\
y &= 2x^{2}-3x +c \\
\hline
x=2 &\longrightarrow y=7 \\
\hline
7 &= 2(2)^{2}-3(2) +c \\
7 &= 8-6 +c \\
7 &= 2+c \longrightarrow c=5 \\
\hline
y &= 2x^{2} -3x +5
\end{align}$
Pembahasan 3:
Diketahui $f'(x)=3x^{2}-6x+k$ dan nilai $f(-1)=-6$ serta $f(2)=6$ sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) &= \int \left( 3x^{2}-6x+k \right)\ dx\\
&= \frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{6}{1+1}x^{1+1} +kx+c \\
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +kx+c \\
\hline
f(-1) &= (-1)^{3}- 3(-1)^{2}+k(-1) +c \\
-6 &= -1 - 3 -k+c \\
k-2 &= c \\
\hline
f(2) &= (2)^{3}- 3(2)^{2}+k(2) +c \\
6 &= 8 - 12 +2k+c \\
10-2k &= c \\
10-2k &= k-2 \\
10+2 &= k+2k \\
12 &= 3k \longrightarrow k=4
\end{align}$
Untuk $k=4$ kita peroleh $c=k-2=2$ sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +kx+c \\
f(x) &= x^{3}- 3x^{2} +4x+2
\end{align}$
Pembahasan 4:
Diketahui $F'(x) = (x + 1)(x + 2)$ dan $F(-3)=-\frac{3}{2}$
$\begin{align}
f(x) &= \int F' (x)\ dx\\
&= \int (x+1)(x+2)\ dx \\
&= \int (x^{2}+3x+2)\ dx \\
&= \int x^{2} \ dx +\int 3x \ dx + \int 2 \ dx \\
&= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{3}{1+1}x^{1+1}+2x+c \\
&= \frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c \\
jadi &= \frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c
\end{align}$
Karena $F(-3)=-\frac{3}{2}$, maka
$\begin{align}
f(-3) &= \frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x+c \\
\Leftrightarrow -\frac{3}{2} &= \frac{1}{3}(-3)^{3}+\frac{3}{2}(-3)^{2}+2(-3)+c \\
\Leftrightarrow -\frac{3}{2} &= -9+ \frac {27}{2}-6+c \\
\Leftrightarrow -\frac{3}{2} &= -\frac {3}{2} +c \\
\Leftrightarrow c &= 0
\end{align}$
Dengan demikian, $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+2x$
1 comment