Pola Bilangan
Modul Pembelajaran Matematika
Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
🗓️ Pertemuan 1: Mengenal Pola Bilangan
Selamat datang di pertemuan pertama! Hari ini kita akan menjelajahi dunia pola bilangan yang menakjubkan. Pola bilangan adalah susunan angka-angka yang memiliki aturan atau keteraturan tertentu. Mari kita kenali beberapa jenisnya.
1. Pola Bilangan Asli, Ganjil, dan Genap
Bilangan Asli: 1, 2, 3, 4, 5, ... (Semua bilangan bulat positif)
Bilangan Ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, ... (Bilangan yang tidak habis dibagi 2)
Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... (Bilangan yang habis dibagi 2)
2. Pola Bilangan Geometri (Segitiga, Persegi, Persegi Panjang)
Rumus suku ke-n: Un = n(n+1)/2
Rumus suku ke-n: Un = n2
Rumus suku ke-n: Un = n(n+1)
3. Pola Bilangan Segitiga Pascal & Fibonacci
Jumlah bilangan per baris: 1, 2, 4, 8, 16, ... (Pola 2n-1)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
✍️ Latihan Pertemuan 1
1. Tiga suku berikutnya dari pola bilangan ganjil setelah 11 adalah ...
Lihat Jawaban
13, 15, 17
2. Berapakah suku ke-6 dari pola bilangan persegi?
Lihat Jawaban
36 (karena 62 = 36)
3. Suku ke-5 dari pola bilangan segitiga adalah ...
Lihat Jawaban
15 (karena 1+2+3+4+5 = 15)
4. Tentukan dua suku berikutnya dari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, ...
Lihat Jawaban
8 (dari 3+5) dan 13 (dari 5+8)
5. Berapakah jumlah bilangan pada baris ke-6 dalam Segitiga Pascal?
Lihat Jawaban
32 (karena 26-1 = 25 = 32)
🤔 Bahan Diskusi
Coba amati sekelilingmu! Dapatkah kamu menemukan contoh pola bilangan Fibonacci di alam? (Petunjuk: kelopak bunga, cangkang siput).
🧘 Refleksi Diri
Dari semua pola bilangan yang telah dipelajari, manakah yang menurutmu paling menarik dan mengapa?
🗓️ Pertemuan 2: Memahami Barisan Bilangan
Pada pertemuan ini, kita akan belajar cara menemukan aturan dari suatu barisan bilangan untuk menentukan suku-suku berikutnya dan bahkan menemukan suku ke-n (Un) tanpa harus mengurutkannya satu per satu!
Contoh 1: Menentukan Suku Berikutnya
Perhatikan barisan: 5, 9, 13, 17, ...
Aturannya adalah "ditambah 4" pada setiap sukunya.
Maka, tiga suku berikutnya adalah 21, 25, dan 29.
Contoh 2: Menentukan Suku ke-n (Un)
Perhatikan barisan: 3, 6, 9, 12, ...
Ini adalah barisan kelipatan 3. Suku ke-1 adalah 3x1, suku ke-2 adalah 3x2, dan seterusnya.
Maka, rumus suku ke-n adalah Un = 3n.
Dengan rumus ini, kita bisa cari suku ke-50: U50 = 3 x 50 = 150.
✍️ Latihan Pertemuan 2
1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan: 2, 6, 18, 54, ...
Lihat Jawaban
162, 486, 1458 (Aturan: dikali 3)
2. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan: 80, 75, 70, 65, ...
Lihat Jawaban
60, 55, 50 (Aturan: dikurang 5)
3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan: 5, 10, 15, 20, ...
Lihat Jawaban
Un = 5n
4. Dari barisan dengan rumus Un = 2n + 3, berapakah nilai suku ke-10?
Lihat Jawaban
U10 = 2(10) + 3 = 23
5. Dalam sebuah gedung pertunjukan, baris paling depan ada 10 kursi. Baris berikutnya selalu bertambah 2 kursi. Berapa banyak kursi di baris ke-8?
Lihat Jawaban
Barisan: 10, 12, 14, ... Suku ke-8 adalah 24 kursi.
🤔 Bahan Diskusi
Buatlah sebuah barisan bilangan versimu sendiri (minimal 4 suku). Tantang temanmu untuk menemukan aturannya dan menentukan 2 suku berikutnya!
🧘 Refleksi Diri
Menurutmu, apa manfaat dari mengetahui rumus suku ke-n (Un) dibandingkan hanya melanjutkan pola satu per satu?
🗓️ Pertemuan 3: Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap sukunya (dimulai dari suku kedua) memiliki selisih yang tetap dengan suku sebelumnya. Selisih ini disebut beda (b). Jika suku-suku ini dijumlahkan, maka terbentuklah Deret Aritmatika.
Grafik barisan aritmatika menunjukkan pertumbuhan/penurunan yang konstan (linear).
Rumus Barisan Aritmatika
Suku ke-n (Un):
Un = a + (n-1)b
a = suku pertama
b = beda (U2 - U1)
Rumus Deret Aritmatika
Jumlah n suku pertama (Sn):
Sn = n/2 (a + Un)
atau
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
Contoh Masalah Kontekstual
Ali menabung di bulan Januari sebesar Rp100.000. Setiap bulan berikutnya, ia menabung Rp20.000 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa total tabungan Ali setelah 1 tahun (12 bulan)?
Diketahui: a = 100.000, b = 20.000, n = 12.
Ditanya: S12
Jawab:
S12 = 12/2 (2 * 100.000 + (12-1) * 20.000)
S12 = 6 (200.000 + 11 * 20.000)
S12 = 6 (200.000 + 220.000)
S12 = 6 (420.000) = Rp2.520.000
✍️ Latihan Pertemuan 3
1. Diketahui barisan aritmatika: 4, 7, 10, 13, ... Tentukan suku ke-20!
Lihat Jawaban
a=4, b=3. U20 = 4 + (20-1)3 = 4 + 57 = 61.
2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret: 5 + 10 + 15 + ...
Lihat Jawaban
a=5, b=5, n=10. S10 = 10/2 (2*5 + (10-1)5) = 5(10 + 45) = 5 * 55 = 275.
3. Suku ke-3 suatu barisan aritmatika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 27. Tentukan beda barisan tersebut!
Lihat Jawaban
U7-U3 = (a+6b)-(a+2b) = 4b. Maka 27-11 = 16. Jadi 4b=16, b=4.
4. Dalam suatu aula, terdapat 15 baris kursi. Baris pertama ada 20 kursi, dan setiap baris berikutnya bertambah 4 kursi. Berapa jumlah total kursi di aula tersebut?
Lihat Jawaban
a=20, b=4, n=15. S15 = 15/2 (2*20 + (15-1)4) = 7.5(40+56) = 7.5 * 96 = 720 kursi.
5. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp50.000. Jika gaji pertama karyawan tersebut adalah Rp2.000.000, berapakah gajinya pada bulan ke-10?
Lihat Jawaban
a=2.000.000, b=50.000. U10 = 2.000.000 + (10-1)50.000 = 2.000.000 + 450.000 = Rp2.450.000.
🤔 Bahan Diskusi
Selain menabung, bisakah kamu memberikan contoh lain dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dihitung menggunakan prinsip barisan atau deret aritmatika?
🧘 Refleksi Diri
Apa perbedaan mendasar antara "barisan" dan "deret" aritmatika? Kapan kita menggunakan rumus Un dan kapan kita menggunakan Sn?
🗓️ Pertemuan 4: Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya (dimulai dari suku kedua) memiliki perbandingan (rasio) yang tetap dengan suku sebelumnya. Rasio ini disebut rasio (r). Jika suku-suku ini dijumlahkan, maka terbentuklah Deret Geometri.
Grafik barisan geometri menunjukkan pertumbuhan/penurunan yang berlipat ganda (eksponensial).
Rumus Barisan Geometri
Suku ke-n (Un):
Un = arn-1
a = suku pertama
r = rasio (U2 / U1)
Rumus Deret Geometri
Jumlah n suku pertama (Sn):
Sn = a(rn - 1) / (r - 1)
jika r > 1
Sn = a(1 - rn) / (1 - r)
jika r < 1
Contoh Masalah Kontekstual
Sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap 10 menit. Jika pada awalnya terdapat 5 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 1 jam (60 menit)?
Diketahui: a = 5, r = 2.
Pembelahan terjadi 60/10 = 6 kali. Ini berarti kita mencari suku ke-7 (awal, 10mnt, 20mnt, ..., 60mnt). Jadi n = 7.
Ditanya: U7
Jawab:
U7 = 5 * 27-1
U7 = 5 * 26
U7 = 5 * 64 = 320 bakteri
✍️ Latihan Pertemuan 4
1. Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, ... Tentukan suku ke-8!
Lihat Jawaban
a=3, r=2. U8 = 3 * 28-1 = 3 * 27 = 3 * 128 = 384.
2. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret: 2 + 6 + 18 + ...
Lihat Jawaban
a=2, r=3, n=5. S5 = 2(35-1)/(3-1) = 2(243-1)/2 = 242.
3. Suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 162. Tentukan rasio barisan tersebut!
Lihat Jawaban
U5/U2 = ar4/ar = r3. Maka 162/6 = 27. Jadi r3=27, r=3.
4. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek 3 cm dan terpanjang 96 cm, berapa panjang tali semula?
Lihat Jawaban
a=3, U6=96. U6=ar5 => 96=3r5 => r5=32 => r=2. S6 = 3(26-1)/(2-1) = 3(63) = 189 cm.
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 dari tinggi sebelumnya. Berapa panjang lintasan bola sampai berhenti?
Lihat Jawaban
Ini adalah deret geometri tak hingga. Lintasan = turun + naik = a / (1-r) + (a*r) / (1-r). Atau cara cepat: Lintasan = a * (atas+bawah)/(bawah-atas) = 10 * (4+3)/(4-3) = 10 * 7 = 70 meter.
🤔 Bahan Diskusi
Penyebaran berita di media sosial terkadang bisa sangat cepat. Apakah fenomena ini lebih mirip dengan deret aritmatika atau geometri? Jelaskan alasanmu!
🧘 Refleksi Diri
Bandingkan barisan aritmatika dan geometri. Manakah yang perubahannya lebih drastis (cepat naik atau turun)? Berikan contohnya.
🏆 Tes Akhir Modul
1. Suku ke-8 dari pola bilangan persegi panjang adalah...
a. 64 b. 72 c. 80 d. 90
Lihat Jawaban
b. 72 (Rumus: n(n+1) => 8(8+1) = 8*9 = 72)
2. Dua suku berikutnya dari barisan 2, 5, 9, 14, ... adalah...
a. 20, 27 b. 19, 25 c. 20, 28 d. 21, 29
Lihat Jawaban
a. 20, 27 (Pola penambahannya: +3, +4, +5, selanjutnya +6 dan +7)
3. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 8, 12, 16, ... adalah...
a. Un = n+4 b. Un = 4n c. Un = 2n+2 d. Un = n2
Lihat Jawaban
b. Un = 4n
4. Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan beda 4. Suku ke-15 adalah...
a. 60 b. 63 c. 67 d. 71
Lihat Jawaban
b. 63 (U15 = 7 + (15-1)4 = 7 + 56 = 63)
5. Jumlah 20 suku pertama dari deret aritmatika 3 + 5 + 7 + ... adalah...
a. 400 b. 420 c. 440 d. 460
Lihat Jawaban
c. 440 (S20 = 20/2 (2*3 + (20-1)2) = 10(6+38) = 440)
6. Diketahui barisan geometri 81, 27, 9, ... Rasio dari barisan tersebut adalah...
a. 3 b. 1/3 c. -3 d. -1/3
Lihat Jawaban
b. 1/3 (r = 27/81 = 1/3)
7. Suku ke-7 dari barisan geometri 2, 6, 18, ... adalah...
a. 1458 b. 729 c. 486 d. 243
Lihat Jawaban
a. 1458 (U7 = 2 * 36 = 2 * 729 = 1458)
8. Suatu bakteri membelah diri menjadi 3 setiap 30 menit. Jika awalnya ada 10 bakteri, jumlah bakteri setelah 2 jam adalah...
a. 810 b. 270 c. 90 d. 120
Lihat Jawaban
a. 810 (2 jam = 120 menit. Pembelahan terjadi 4 kali. Dicari U5. U5 = 10 * 34 = 10 * 81 = 810)
9. Dalam gedung bioskop, baris terdepan 12 kursi, baris kedua 15 kursi, baris ketiga 18 kursi, dan seterusnya. Jika ada 10 baris, jumlah semua kursi adalah...
a. 250 b. 255 c. 260 d. 265
Lihat Jawaban
b. 255 (Deret Aritmatika. a=12, b=3, n=10. S10 = 10/2(2*12 + 9*3) = 5(24+27) = 5*51 = 255)
10. Jumlah deret geometri tak hingga 16 + 8 + 4 + ... adalah...
a. 24 b. 30 c. 32 d. 64
Lihat Jawaban
c. 32 (S∞ = a / (1-r) = 16 / (1 - 1/2) = 16 / (1/2) = 32)
🎉 Selamat! Anda Telah Menyelesaikan Modul Ini!
Anda telah mempelajari dasar-dasar pola bilangan, barisan, hingga deret aritmatika dan geometri. Konsep-konsep ini adalah fondasi penting dalam matematika dan banyak diterapkan dalam kehidupan nyata.
🧘 Refleksi Akhir Pembelajaran
Tuliskan dalam 3 kalimat: Apa hal terpenting yang kamu pelajari dari modul ini, dan bagaimana pengetahuan ini bisa membantumu di masa depan?
Join the conversation