Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran terletak bersebrangan, sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Untuk lebih jelasnya, coba lihat gambar dibawah ini:

Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di X dan Y yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r. Kemudian panjang garis singgung AB kita misalkan sebagai S, dan jarak kedua pusat lingkaran kita misalkan sebagai D.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dari gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Titik pusat lingkaran besar adalah X dengan jari-jari R.
TItik pusat lingkaran kecil adalah Y denga jari jari r.
Garis singgung persekutuan luar adalah AB = S
Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah MN = D.
Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah dari B ke X, maka akan diperoleh garis CY.
Garis AB sejajar CY, sehingga sudut XCY sama dengan sudut XAB yaitu 90⁰ (siku-siku).
Sekarang coba lihat persegi panjang ABYD. Garis AB sejajar dengan CY, dan garis AC sejajar dengan garis BY.
Karena panjang CY sama dengan AB dan XC = R – r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (S) adalah

$ S=\sqrt{D^{2}-(R-r)^2} $

Simak Video berikut

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1.

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 25 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui :
Jari-jari lingkaran besar (R) = 25 cm,
Jari-jari lingkaran kecil (r) = 10 cm dan
Jarak kedua pusat lingkaran (D) = 17 cm
Ditanyakan : Panjang garis singgung persekutuan luar (S) = ? cm
Penyelesaian :
$ S=\sqrt{D^{2}-(R-r)^2} $
$ S=\sqrt{17^{2}-(25-10)^2} $
$ S=\sqrt{289-225} $
$ S=\sqrt 64 $
$ S=8 $
Jadi panjang garis singgun persekutuan luarnya adalah 8 cm

Contoh 2.

Misal diberikan dua lingkaran dengan A dan B adalah titik pusatnya serta berturut-turut panjang jari-jari masing-masing lingkaran adalah 4 cm dan 9 cm. Apabila kedua lingkaran tersebut berhimpit, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran tersebut?

Pembahasan:

Diketahui :
Jari-jari lingkaran R = 9 cm dan r = 4 cm.
Karena kedua lingkaran tersebut berhimpit, artinya jarak kedua titik pusat lingkaran (D) adalah R + r = 13 cm
Ditanyakan : Panjang garis singgung persekutuan luar (S) = ? cm
$\begin{align}
S&=\sqrt{D^{2}-(R-r)^2} \\ &=\sqrt{13^{2}-(9-4)^2} \\ &=\sqrt{169-25} \\ &=\sqrt{144} \\ &=12 \\ \end{align}$
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 12 cm

Contoh 3.

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain!

Pembahasan:

Diketahui :
Panjang garis singgung kedua lingkaran S = 12 cm,
Jarak kedua pusat lingkaran D = 13 cm dan Panjang salah satu jari-jari r = 3 cm
Ditanyakan : Panjang jari-jari yang lain (R) =? cm
$\begin{align}
S^{2}&=D^{2}-(R-r)^2 \\ 12^{2}&=13^{2}-(R-3)^2 \\ 144 &=169-(R-3)^2 \\ (R-3)^2 &= 169-144 \\ (R-3)^2 &= 25 \\ (R-3) &= \sqrt{25} \\ (R-3)&= 5 \\ R &= 5+3 \\ R &= 8 \\ \end{align}$
Jadi panjang jari-jari yang lain adalah 8 cm.

Contoh 4.

Diberikan dua buah roda yang berjari-jari 21 cm. Kedua roda tersebut diletakkan sedemikian hingga kedua roda tersebut bersinggungan. Jika kedua roda tersebut diikat dengan tali, berapa panjang minimal tali yang dibutuhkan?

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, didapat bahwa panjang garis singgung persekutuan luar yaitu AB dan CD adalah 2 kali jari-jari, di mana kedua garis persekutuan luar lingkaran tersebut adalah sama. Sehingga diperoleh AB = CD = 42 cm. Perhatikan bahwa garis BC dan AD membagi dua lingkaran, sehingga diperoleh : $\begin{align}
BC&=\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}(2\pi r) \\ BC&=\frac{1}{2}\ast 2\ast \frac{22}{7}\ast 21 \\ &=22 \ast 3 \\ &=66 \\ \end{align}$
Panjang minimal tali yang dibutuhkan untuk mengikat roda adalah
$= AB + CD + BC + DA$
$= 42 + 42 + 66 + 66$
$= 216$

Contoh 5.

Pak Edi membeli tiga buah pipa berbentuk lingkaran yang berjari-jari. Apabila Pak Edi ingin mengikat ketiga pipa tersebut jadi satu (perhatikan gambar), berapa panjang minimal tali untuk mengikat ketiga pipa tersebut?

Pembahasan:

Dalam menyelesaikan soal ini, kita akan memanfaatkan garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, didapat bahwa panjang garis singgung persekutuan luar yaitu AB, CD dan EF adalah 2 kali jari-jari, di mana ketiga garis persekutuan luar lingkaran tersebut adalah sama. Sehingga diperoleh AB = CD = EF = 14 cm. Berakibat segitiga PQR adalah segitiga sama sisi. Perhatikan lingkaran dengan titik pusat Q.
$\angle BQC = 360^{\circ}-(\angle PQB+\angle CQR +\angle PQR)$
$= 360^{\circ}-(90^\circ+90^{\circ}+60^{\circ})$
$= 360^{\circ}-240^\circ$
$= 120^{\circ}$
Dengan cara yang sama, diperoleh \angle APF = \angle DRE. Selanjutnya, berakibat panjang busur BC = panjang busur AF = panjang busur DE, yaitu
$BC = \dfrac{120^0}{360^0} (2 \pi r)$
$= \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{22}{7} 7$
$= \dfrac{44}{3}$
Panjang minimal tali yang dibutuhkan untuk mengikat pipa adalah
$= AB + CD + EF + BC + DE + AF$
$= 3d + 3 \times (\text{panjang busur})$
$= 3(14) + 3\left(\dfrac{44}{3} \right)$
$= 42 + 44$
$= 86$

Latihan Mandiri

Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran!
Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya!
Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua lingkarannya!
Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ= 26 cm, panjang jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Hitung panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran!

Masukkan Password Untuk Mengakses Pembahasan Tugas ini!

Demikian Materi Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran berserta contoh soal dan pembahasannya tentang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Mohon maaf, jika ada kesalahan kata maupun perhitungan dari postingan di atas.

Guru Matematika yang senang ngulik IT. Blog ini bertujuan untuk sharing.

aans.my.id

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran