Metode Substitusi dalam Integral Tak Tentu

Apabila suatu integral sudah dalam bentuk baku, maka kita dapat langsung menyelesaikannya dengan  menggunakan rumus-rumus dasar integral. Tetapi apabila tidak, maka bentuk integral tersebut perlu diubah terlebih dahulu sedemikian sehingga menjadi bentuk baku. Pengubahan bentuk integral itu dilakukan dengan mensubstitusikan variabel baru.

Metode substitusi yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Andaikan $g$ suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan $F$ adalah suatu fungsi anti-turunan dari $f$. Sehingga jika $u = g(x)$, maka
$\int f(g(x))g'(x)\;dx \;=\int f(u)\cdot du\;=F(u)+c\;=F(g(x))+c$

Langkah teknik pengintegralan dengan metode substitusi adalah sebagai berikut;

1. Memilih fungsi $u = g(x)$, sehingga $\int f(g(x))g'(x)\;dx \;=\int f(u)\cdot du$
2. Tentukan $\int f(u)\cdot du$

Simak Video Berikut

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari $\int \limits  \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx $ adalah...

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-x+3 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\ du & = (2x-1)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx \\ & = \int \limits \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ \left ( 2x-1 \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( u \right )^{3}\ du \\ & = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C\\ & = \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C
\end{align}$

2. Hasil dari $\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx$ adalah...

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\ du &= 4 dx \\ \dfrac{1}{4} du &= dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;

$\begin{align}
\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\ &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\ \end{align}$

Latihan Mandiri

Untuk mengukur pemahaman kalian, silahkan kerjakan soal berikut.

1. Hasil $\int x \sqrt{9-x^2}\;dx$ = ...
a. $-\frac{1}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C$
b. $-\frac{2}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C$
c. $\frac{2}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C$
d. $\frac{2}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+\frac{2}{9}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C$
e. $\frac{1}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+\frac{1}{9}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C$

2. Diketahui $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, maka $\int f(x)\;dx$ = ...

a. $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}+C$

b. $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}+C$

c. $2\sqrt{x^2+4}+C$

d. $-\sqrt{x^2+4}+C$

e. $\sqrt{x^2+4}+C$

Silhakan tuliskan jawaban kalian di kolom komentar postingan ini.

Demikian amteri tentang Metode Substitusi dalam Integral Tak Tentu. Mudah-mudahan bisa dipahami dan bermanfaat. Selamat belajar.