Soal Integral Tak Tentu dan Pembahasannya

$\displaystyle \int{\dfrac32x^{-2}\ dx} = \dfrac32.\dfrac{1}{-2 + 1}x^{-2 + 1} + C$
$= \dfrac32.\dfrac{1}{-1}x^{-1} + C$
$= -\dfrac{3}{2x} + C$

$\displaystyle \int{\dfrac43x^{3/2}\ dx} = \dfrac43.\dfrac{1}{\dfrac32 + 1}x^{3/2 + 1} + C$
$= \dfrac43.\dfrac25x^{5/2} + C$
$= \dfrac{8}{15}x^{5/2} + C$

$\displaystyle \int{\dfrac{2}{5x^2\sqrt{x}}\ dx} = \displaystyle \int{\dfrac{2}{5}x^{-5/2}\ dx}$
$= \dfrac25.\dfrac{1}{-\dfrac52 + 1}x^{-5/2 + 1} + C$
$= \dfrac25.\left(-\dfrac{2}{3}\right)x^{-3/2} + C$
$= - \dfrac{4}{15}x^{-3/2} + C$

$\displaystyle \int{(2x^5 + 3x^2 + 7)\ dx} = \dfrac{2}{5 + 1}x^{5 + 1} + \dfrac{3}{2 + 1}x^{2 + 1} + 7x + C$
$= \dfrac13x^6 + x^3 + 7x + C$

$\displaystyle \int{(5x^3 - 3x\sqrt{x})\ dx} = \displaystyle \int{(5x^3 - 3x^{3/2})\ dx}$
$= \dfrac{5}{3 + 1}x^{3 + 1} - \dfrac{3}{\dfrac32 + 1}x^{3/2 + 1} + C$
$= \dfrac54x^4 - \dfrac65x^{5/2} + C$

$\displaystyle \int{\dfrac{4x^5 - 3x^3 + x}{x^2}\ dx} = \displaystyle \int{(4x^3 - 3x + \dfrac 1x)\ dx}$
$= x^4 - \dfrac32x^2 + ln\ |x| + C$

Dengan metode Horner kita bisa mencari hasil bagi dari $(x^3 - 8) : (x - 2)$
$\displaystyle \int{\dfrac{x^3 - 8}{x - 2}\ dx} = \displaystyle \int{\dfrac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)}\ dx}$
$= \displaystyle \int{(x^2 + 2x + 4)\ dx}$
$= \dfrac13x^3 + x^2 + 4x + C$

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\ & = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\ & = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align} &\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx \\ & = \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}+4x+C\\ & = x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x+C\\ \end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\ & = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\ & = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\ & = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C
\end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\ \dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\ & = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\ & = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\ & = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\ & = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\ & = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\ \end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-x+3 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\ du & = (2x-1)\ dx
\end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
&\int \limits \left ( 2x-1 \right ) \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ dx \\ & = \int \limits \left ( x^{2}-x+3 \right )^{3}\ \left ( 2x-1 \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( u \right )^{3}\ du \\ & = \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C\\ & = \dfrac{1}{4} \left ( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C
\end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\ du &= 4 dx \\ \dfrac{1}{4} du &= dx
\end{align}$
Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;

$\begin{align}
\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\ &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\ &= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\ \end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\ & = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\ & = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align} f \left( x \right) &= \int x^{2}\ dx \\ &= \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+c \\ &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\ \hline f \left( 2 \right) &= \dfrac{1}{3}(2)^{3}+c \\ -\dfrac{19}{3} &= \dfrac{8}{3}+c \\ -\dfrac{19}{3} -\dfrac{8}{3}&= c \\ -\dfrac{27}{3} &= c \\ -9 &= c \\ \hline f \left( x \right) &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\ &= \dfrac{1}{3}x^{3} -9 \end{align} $

$f \left( x \right) = \dfrac{1}{3}x^{3}-9$ memotong sumbu $x$ saat $\dfrac{1}{3}x^{3}-9=0$ sehingga $x^{3}-27=0$ atau $x=3$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:

Untuk $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}ax +b$

Untuk $f(a)=\dfrac{a+2b}{2}$ maka berlaku:
$ \begin{align} f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}ax +b \\ f\left( a \right) &= \dfrac{1}{2}a(a) +b \\ \dfrac{a+2b}{2} &= \dfrac{1}{2}a^{2}+b \\ a+2b &= a^{2}+2b \\ 0 &= a^{2}-a \\ 0 &= a \left( a-1 \right) \\ &a=0\ \text{atau}\ a=1 \end{align} $

Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=1$, sehingga $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x +b$. Untuk $f(b)=6$, kita peroleh:
$ \begin{align} f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +b \\ f\left( b \right) &= \dfrac{1}{2}b +b \\ 6 &= \dfrac{3}{2}b \\ b &= 4 \\ \hline f\left( x \right) &= \dfrac{1}{2}x +4 \end{align} $

>Untuk $ f\left( x \right) =a+bx$ dan $F(x)$ adalah anti turunan $f(x)$ maka berlaku:

$ \begin{align} F\left( x \right) &= \int f\left( x \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= \int \left( a+bx \right)\ dx \\ F\left( x \right) &= ax+\frac{1}{2}bx^{2}+c \\ \hline F\left( 1 \right) &= a(1) +\frac{1}{2}b(1)^{2}+c \\ F\left( 1 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c \\ F\left( 0 \right) &= a(0) +\frac{1}{2}b(0)^{2}+c \\ F\left( 0 \right) &= c \\ \hline F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) &= a +\frac{1}{2}b +c-c \\ 3 &= a +\frac{1}{2}b \\ 6 &= 2a + b \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\ & = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\ & = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\ & = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align} & \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx \\ &= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ \times \dfrac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}\ dx \\ &= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)\left( 1 - \sqrt{x} \right)}{1 - x}\ dx \\ &= 3 \int \left( 1 - \sqrt{x} \right) dx \\ &= 3 \left( x - \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right) + C\\ &= 3 x - 2x \sqrt{x} + C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align} & \int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx \\ &= \int \left( \dfrac{x^{2}}{x}-\dfrac{\sqrt{x}}{x} \right)\ dx \\ &= \int \left( x - x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx \\ &= \dfrac{1}{2}x^{2} -2x^{ \frac{1}{2}} +C \\ &= \dfrac{1}{2}x^{2} -2\sqrt{x} + C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:

misal:
$\begin{align} u & = x^{3}-1 \\ \dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\ du & = 3x^{2}\ dx \end{align}$
Soal di atas, kini dapat kita tuliskan menjadi;
$\begin{align}
&\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot 3x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{x^{3}-1}\ 3x^{2}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{u}\ du \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( u \right) \sqrt{u}\ +C \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \\ & = 2 \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\ & = \int \limits \left ( -16 x^{-2} - 6x^{2} \right ) dx \\ & = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} - \dfrac{6}{2+1}x^{2+1} +C \\ & = 16 x^{-1} - 2x^{3} +C \\ & = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$ \begin{align}
& \int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}+1 \right)}{x \left( x^{2}+1 \right)} \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right) }{x } \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( \dfrac{ x^{2} }{x }-\dfrac{ 1 }{x } \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( x-x^{-1} \right )^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( x^{2}-2+x^{-2} \right ) dx \\ & = \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+ \dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\ & = \dfrac{1}{3}x^{3}-2x- \dfrac{1}{x} + C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{align} u & = 2-x^{3} \rightarrow 2-u = x^{3}\\ \dfrac{du}{dx} & = -3x^{2} \\ du & = -3x^{2}\ dx \rightarrow -\dfrac{1}{3}du = x^{2}dx \\ \end{align}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{align}
& \int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\ & = \int \limits x^{2} \cdot x^{3} \left ( u \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\ & = \int \limits x^{3} \cdot u^{\frac{1}{2}}\ x^{2} dx \\ & = \int \limits \left ( 2-u \right ) u^{\frac{1}{2}}\ \left (-\dfrac{1}{3}du \right ) \\ & = -\dfrac{1}{3} \int \limits \left ( 2u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}} \right ) \ du \\ & = -\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\ & =-\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\ & =-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{15}u^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6u \right )+ C \\ & =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6\left (2-x^{3} \right ) \right )+ C \\ & =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 12+6x^{3} \right )+ C \\ & =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 8+6x^{3} \right )+ C \\ & =-\dfrac{2}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 4+3x^{3} \right )+ C \end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{align}
f'(x) & =9x^{2}-12x+2 \\ f(x ) &= \int \limits f'(x)\ dx \\ &= \int \limits 9x^{2}-12x+2 \ dx \\ &= \dfrac{9}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{12}{1+1}x^{1+1}+2x + C \\ & = 3x^{3}-6x^{2}+2x + C \\ \hline f(-1) & = 3(-1)^{3}-6(-1)^{2}+2(-1) + C \\ 0 & = -3-6 -2 + C \\ 0 & = -11 + C \\ C & =11 \\ \hline f(x) & = 3x^{3}-6x^{2}+2x + 11 \\ f(0) & = 3(0)^{3}-6(0)^{2}+2(0) + 11 \\ & = 11 \end{align}$