Soal dan Pembahasan Integran Tentu - Aljabar

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
• Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
  $'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$

• $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
• $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
• $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
• Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
  $'$Suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=f(x)$, sehingga beberapa persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = f(x) \\ \dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\ du & = f'(x)\ dx
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\ \left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\ \left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\ \left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\ \left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\ 2f(b) + 2 &=-10 \\ 2f(b) &=-12 \\ f(b) &=-6
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\ \left[ F \left( x \right) \right]_{1}^{2} &= \sqrt{2} \\ F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = \sqrt{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ du \cdot 2 \sqrt{x} & = dx \\ du \cdot 2 & = \dfrac{dx}{ \sqrt{x} }
\end{align} $
Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{4} f \left( \sqrt{x} \right)\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\ \hline
x=4 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 \\ x=1 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{1}=1 \\ \hline
&= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ 2\ du \\ &= 2 \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\ &= 2 \cdot \left[ F \left( u \right) \right]_{1}^{2} \\ &= 2 \cdot \left( F \left( 2 \right)-F \left( 1 \right) \right) \\ &= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right) \\ &= 2\sqrt{2}
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{2}^{3} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\ \left[ F \left( x \right) \right]_{2}^{3} &= \sqrt{2} \\ F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=1+\dfrac{2}{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 1+\dfrac{2}{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = -\dfrac{2}{x^{2}} \\ -\dfrac{du}{2} & = \dfrac{2}{x^{2}}
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{2} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ \dfrac{dx}{x^{2}} \\ \hline
x=2 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{2}=2 \\ x=1 \rightarrow u &= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{1}=3 \\ \hline
&= \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ \cdot -\dfrac{du}{2} \\ &=-\dfrac{1}{2} \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ du \\ &=-\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{3}^{2} \\ &=-\dfrac{1}{2} \left( F \left( 2 \right)-F \left( 3 \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right) \\ \end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{4} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\ \left[ F \left( x \right) \right]_{0}^{4} &= \sqrt{2} \\ F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) &= \sqrt{2}
\end{align} $

Selanjutnya, untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x^{2} \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x \\ \dfrac{du}{2} & = x\ dx \\ \end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} x f \left( x^{2} \right)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f \left( x^{2} \right)\ x dx \\ \hline
x=2 \rightarrow u &= x^{2} = 2^{2} =4 \\ x=0 \rightarrow u &= x^{0} = 0^{2} =0 \\ \hline
&= \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ \dfrac{du}{2} \\ &=\dfrac{1}{2} \int \limits_{0}^{4} f \left( u \right)\ du \\ &=\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{0}^{4} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 4 \right)-F \left( 0 \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right)
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align} u & = x^{2}+6x \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\ \dfrac{du}{2} & = (x+3)dx \end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\ &= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\ &= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\ &= 64 \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=3 + \sqrt{x}$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = 3 + \sqrt{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ 2\ du & = \dfrac{dx}{\sqrt{x}}
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx
&= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\ &= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\ 2 du \\ &= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{6}{u^{\frac{3}{2}}}\ du \\ &= 6 \left[ \dfrac{-2}{u^{\frac{1}{2}}} \right]_{1}^{36} \\ &= -12 \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{x}}} \right]_{1}^{36} \\ &= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{36}}} - \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{1}}} \right) \\
&= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{9}} - \dfrac{1}{\sqrt{4}} \right) \\ &= -12 \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right) \\ &= -12 \left( \dfrac{2-3}{6} \right)=2
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x+1$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align}
u & = x+1 \rightarrow u-1=x\\ \dfrac{du}{dx} & = 1 \\ du & = dx
\end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\ dx
&= \int \limits_{0}^{3} \dfrac{3 \left( u-1 \right)}{\sqrt{u}}\ du \\ &= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( \dfrac{u}{\sqrt{u}} - \dfrac{1}{\sqrt{u}} \right)\ du \\ &= 3 \int \limits_{0}^{3} \left( u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \right)\ du \\ &= 3 \left[ \dfrac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\ &= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{3} \\ &= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (3+1)^{\frac{3}{2}} - (3+1)^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot (0+1)^{\frac{3}{2}} - (0+1)^{\frac{1}{2}} \right] \\ &= 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{1}{2}} \right]- 6 \left[ \dfrac{1}{3} \cdot 1 - 1 \right] \\ &= 6 \left( \dfrac{8}{3}-2 \right)- 6 \left( \dfrac{1}{3}-1 \right) \\ &= 6 \left( \dfrac{7}{3}-1 \right)=14-6=8
\end{align} $

Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\ f(x+2) &= f(x+4) \\ f(x+4) &= f(x+6) \\ f(x+6) &= f(x+8) \\ & \vdots
\end{align} $

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
& \int \limits_{3}^{7} f(x+8)\ dx \\ &= \int \limits_{3}^{7} f(x)\ dx \\ &= \int \limits_{3}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx + \int \limits_{6}^{7} f(x)\ dx \\ &= \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2)\ dx +\int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4)\ dx +\int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6)\ dx \\ &= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\ &= \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B +\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx \\ &=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx + B \\ &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + B \\ &= B + B = 2B
\end{align} $

Kita coba menghitung $\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx$ dari beberapa eksplorasi berikut:

Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ diketahui $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =b$ dan $f(x)=f(x+a)$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} f(x)\ dx \\ &= b + \int \limits_{a-a}^{3a-a} f(x+a)\ dx \\ &= b + \int \limits_{0}^{2a} f(x)\ dx \\ &= b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx+ \int \limits_{a}^{2a} f(x)\ dx \\ &= b + b + \int \limits_{a-a}^{2a-a} f(x+a)\ dx \\ &= 2b + \int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx \\ &= 2b + b =3b
\end{align} $

Untuk $0 \lt x \leq a$, fungsi $f(x)=g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ sehingga dapat berlaku $\int \limits_{0}^{a} f(x)\ dx =\int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx=b$. Dengan $g(x)=5x^{5}+2016x^{3}$ dapat kita tentukan $g(x)$ adalah fungsi ganjil karena $g(-x)=-g(x)$, sehingga berlaku $\int \limits_{-a}^{a} g(x)dx =0$.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx
&= \int \limits_{0}^{a} g(x)\ dx + \int \limits_{a}^{3a} g(x)\ dx \\ &= b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a)\ dx \\ &= b + \int \limits_{-a}^{a} g(x)\ dx \\ &= b + 0 = b
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3a} \left( f(x)+g(x) \right) dx & = \int \limits_{0}^{3a} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{3a} g(x)\ dx \\ &= 3b + b \\ &= 4b
\end{align} $

Jika $f(s)$ adalah turunan dari fungsi $F(s)$ atau $F'(s)=f(s)$ dan $g(s)$ adalah turunan fungsi $G(s)$ atau $G'(s)=g(s)$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{1}{t} \int \limits_{0}^{t} \left( f(s)+g(s) \right) ds \\ &= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(s)+G(s) \right]_{0}^{t} \\
&= \dfrac{1}{t} \cdot \left[F(t)+G(t) \right]-\dfrac{1}{t} \cdot \left[F(0)+G(0) \right] \\
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t}
\end{align} $

Karena $\lim\limits_{a \to 0} \dfrac{C \left( t_{0}+a \right)- C \left( t_{0} \right)}{a}=0$ maka berlaku:
$ \begin{align}
C'(t) &= 0 \\ \dfrac{\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]' \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\ \dfrac{\left[ f(t)+g(t) - 0-0 \right] \cdot t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right]}{t^{2}} &= 0 \\ \left[ f(t)+g(t) \right]\ t-\left[ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) \right] &= 0 \\ F(t)+G(t) - F(0)-G(0) &= \left[ f(t)+g(t) \right]\ t
\end{align} $

$ \begin{align}
C(t) &= \dfrac{F(t)+G(t) - F(0)-G(0)}{t} \\ C(t) &= \dfrac{\left( f(t)+g(t) \right)\ t}{t} \\ C(t) &= f(t)+g(t) \\ C(t_{o}) &= f(t_{o})+g(t_{o})
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita butuh sedikit pemahaman tentang turunan, untuk menentukan nilai maksimum, yaitu $f'(x)=0$
$ \begin{align}
f(x) &=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \\ f'(x) &=x^{2}-4x^ +3 \\ 0 &= (x-3)(x-1) \\ & x=3\ \text{atau}\ x=1 \\ \hline
f(1) &=\dfrac{1}{3}(1)^{3}-2(1)^{2}+3(1) \\ &=\dfrac{4}{3} \\ f(3) &=\dfrac{1}{3}(3)^{3}-2(3)^{2}+3(3) \\ &=0 \\ \end{align} $
Titik maksumum adalah $\left(1, \dfrac{4}{3} \right)$, sehingga:
$ \begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f'(x)\ dx &= \int \limits_{\frac{4}{3}}^{1} \left( x^{2}-4x^ +3 \right)\ dx\\ &= \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \right]_{\frac{4}{3}}^{1}\ dx\\ &= \left[ \dfrac{1}{3} \left( 1 \right)^{3}-2\left( 1 \right)^{2}+3\left( 1 \right) \right] - \left[ \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^{3}-2\left( \dfrac{4}{3} \right)^{2}+3\left( \dfrac{4}{3} \right) \right] \\ &= \dfrac{4}{3}-\dfrac{64}{81}+\dfrac{32}{9}-4 \\ &= \dfrac{8}{81}
\end{align} $

Jika kita misalkan $\int \limits g(x)\ dx = G(x)+c$ atau $g(x)=G'(x)$, sehingga dapat kita tuliskan:
$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\ \left[ G(t) \right]_{x}^{c} &= 3x^{5}-3 \\ G(x)-G(c) &= 3x^{5}-3 \\ G'(x)-G'(c) &= 5 \cdot 3x^{5-1}-0 \\ \hline
G'(c)=0 & \\ \hline
G'(x) &= 15x^{4} \\ g(x)=G'(x) &= 15x^{4} \\ g(t )=G'(t) &= 15t^{4}
\end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{c}^{x} g(t)\ dt &= 3x^{5}-3 \\ \int \limits_{c}^{x} 15t^{4}\ dt &= 3x^{5}-3 \\ \left[ 3t^{5} \right]_{c}^{x} &= 3x^{5}-3 \\ \left[ 3x^{5} \right]-\left[ 3c^{5} \right]&= 3x^{5}-3 \\ \hline
c^{5}=1 \\ c=1 \\ \hline
g(x) &= 15x^{4} \\ g \left( \dfrac{c}{2} \right) &= 15\left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} \\ &= 15 \left( \dfrac{1}{16} \right) \\ &= \dfrac{15}{16}
\end{align} $

Untuk menyelesaikan integral di atas kita mulai dengan memisalkan $\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx =k$, hal ini dapat kita lakukan karena hasil integral sebuah fungsi pada selang tertentu adalah sebuah konstanta.
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + \left ( \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \right )^{2} &=3 \\ \int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx + k^{2} &=3 \\ \int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx &=3-k^{2} \\ \int \limits_{0}^{1} \left( 3x^{2}+4x+k \right) \ dx &=3-k^{2} \\ \left[ x^{3}+2x^{2}+kx \right]_{0}^{1}\ &=3-k^{2} \\ \left[ (1)^{3}+2(1)^{2}+k(1) \right]- \left[0 \right]\ &=3-k^{2} \\ \left[ 3+k(1) \right]\ &=3-k^{2} \\ 3+k- &=3-k^{2} \\ k^{2}+k &=0 \\ k(k+1) &=0 \\ k=0\ \text{atau}\ k=-1 & \\ \end{align} $

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= k \\ \int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx &= -1 \\ \hline
f(x) &=3x^{2}+4x+\int \limits_{0}^{2} g(x)\ dx \\ f(x) &=3x^{2}+4x-1 \\ f(1) &=3(1)^{2}+4(1)-1 \\ &=6
\end{align} $

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba selesaikan dengan defenisi integral dan manipulasi aljabar seperti berikut ini;
Misal $u=x+2$, maka $du=dx$ dan $x=u-2$
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \dfrac{x^{2}+3x}{\sqrt{x+2}}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{\left(u-2 \right)^{2}+3\left(u-2 \right)}{\sqrt{u}}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-4u+4+3u-6}{\sqrt{u}}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} \dfrac{u^{2}-u-2}{u^{\frac{1}{2}}}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} \left (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}-2u^{-\frac{1}{2}} \right )\ dx \\ &= \left [\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4u^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2}\ dx \\ &= \left [\dfrac{2}{5}\left( x+2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left( x+2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left( x+2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{2} \\ &= \left [\dfrac{2}{5}\left(4 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(4 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(4 \right)^{\frac{1}{2}} \right]-\left [\frac{2}{5}\left(2 \right)^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}\left(2 \right)^{\frac{3}{2}}-4\left(2 \right)^{\frac{1}{2}} \right] \\ &= \left [\dfrac{2}{5}\left(32 \right) -\dfrac{2}{3}\left(8 \right)-8 \right]-\left [\frac{2}{5}\left(4\sqrt{2} \right) -\dfrac{2}{3}\left(2\sqrt{2} \right) -4\sqrt{2} \right] \\ &= \left [\dfrac{64}{5} -\dfrac{16}{3} -8 \right]-\left [\frac{8}{5} \sqrt{2} -\dfrac{4}{3} \sqrt{2} -4\sqrt{2} \right] \\ &= -\dfrac{8}{15} +\dfrac{56}{15}\sqrt{2} \\ &= \dfrac{8}{15} \left(7\sqrt{2} - 1 \right)
\end{align} $

Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x$, yaitu:
$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x, \text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x, \text{untuk}\ x \lt 0
\end{matrix}\right.$

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\ &= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left| x \right| \right)\ dx \\ &= \int \limits_{-1}^{0} \left(x - 2 \left( -x \right) \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(x - 2 \left( x \right) \right)\ dx \\ &= \int \limits_{-1}^{0} \left(3x \right)\ dx + \int \limits_{0}^{2} \left(-x \right)\ dx \\ &= \left[\dfrac{3}{2} x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ -\dfrac{1}{2} x^{2} \right]_{0}^{2} \\ &= \left[0-\dfrac{3}{2} (-1)^{2} \right] + \left[ -\dfrac{1}{2} (2)^{2}-0 \right] \\ &= \left[ -\dfrac{3}{2} \right] + \left[ -2 \right] \\ &= -\dfrac{7}{2}
\end{align} $

Untuk menyelesaikan integral di atas kita coba dengan memisalkan $u=5-x$ sehingga $du=-dx$ dan $x=4 \rightarrow u=1$, $x=1 \rightarrow u=4$.

$ \begin{align}
\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx &= \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ \left( - du \right) \\ &= - \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ du \\ &= \int \limits_{1}^{4} f \left(u \right)\ du \\ &= 6
\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba dengan memisalkan $u=x^{2}+6x$, sehingga beberapa persamaan kita peroleh, yaitu:
$ \begin{align} u & = x^{2}+6x \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\ \dfrac{du}{2} & = (x+3)dx \end{align} $

Dari pemisalan yang kita peroleh di atas;
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\ &= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\ &= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\ &= 64 \end{align} $

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\ & = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\ & = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\ & = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\ & = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\ & = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\ & = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\ & = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\ & = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\ & = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\ & = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\ & = \dfrac{8}{3}+18 \\ & = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Untuk menentukan nilai $a$ dari persamaan $\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx=\dfrac{10}{81}$ kita coba dengan memisalkan $u=x+2$ sehingga $du=dx$.

Dari pemisalan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
\int \limits_{-1}^{a} \dfrac{x+1}{(x+2)^{4}}\ dx &=\dfrac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^{a} \dfrac{u-1}{u^{4}}\ du &=\dfrac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^{a} \left( u-1 \right) \cdot u^{-4}\ du &=\dfrac{10}{81} \\ \int \limits_{-1}^{a} \left( \cdot u^{-3}-\cdot u^{-4} \right)\ du &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{1}{2u^{2}}+\dfrac{1}{3u^{3}} \right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{-3u+2}{6u^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{-3(x+2)+2}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{-3 x -4}{6(x+2)^{3}}\right]_{-1}^{a} &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]-\left[\dfrac{-3(-1) -4}{6(-1+2)^{3}}\right] &=\dfrac{10}{81} \\ \left[\dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}}\right]+ \dfrac{1}{6} &=\dfrac{10}{81} \\ \dfrac{-3a -4}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{10}{81}-\dfrac{1}{6} \\ \dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{60-81}{486} \\ \dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-21}{486} \\ \dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{162} \\ \dfrac{- \left(3a+4 \right)}{6(a+2)^{3}} &=\dfrac{-7}{6 \cdot 3^{3}} \\ \end{align} $
Nilai $a$ yang memenuhi persamaan di atas adalah $a=1$

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{3} \left( x^{2}+2b \right)\ dx &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{3}x^{3}+2bx \right ]_{1}^{3} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{3}(3)^{3}+2b(3) \right ]-\left[ \dfrac{1}{3}(1)^{3}+2b(1) \right ] &=10 \\ \left[ 9 + 6b \right ]-\left[ \dfrac{1}{3} + 2b \right ] &=10 \\ 9 + 4b - \dfrac{1}{3} &=10 \\ 4b - \dfrac{1}{3} &= 1 \\ 4b &= 1 + \dfrac{1}{3} \\ 4b &= \dfrac{4}{3} \\ b &= \dfrac{1}{3} \\ 6b &= 2
\end{align}$

Untuk nilai $b=\dfrac{1}{3}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} \left( ax-b \right)\ dx & = 4 \\ \int \limits_{0}^{2} \left( ax-\dfrac{1}{3} \right)\ dx & = 4 \\ \left[ \dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{3}x \right]_{0}^{2} & = 4 \\ \left[ \dfrac{1}{2}a(2)^{2}-\dfrac{1}{3}(2) \right]-\left[ 0 \right] & = 4 \\ 2a - \dfrac{2}{3} & = 4 \\ 2a & = 4 + \dfrac{2}{3} \\ 2a & = \dfrac{14}{3} \\ a & = \dfrac{7}{3} \\ 3a & = 7 \\ \end{align}$
Nilai $3a+6b=7+2=9$

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang defenisi integral tentu yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Dengan menerapkan defenisi integral di atas, maka berlaku
$\begin{align}
4 + \int \limits_{0}^{2} \left( bx+x-2 \right)\ dx &= \int \limits_{-1}^{b} \left( x+1 \right)\ dx \\ 4 + \left[ \dfrac{1}{2}bx^{2}+\dfrac{1}{2}x^{2}-2x \right]_{0}^{2} &= \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{-1}^{b} \\ 4 + \left[ \dfrac{1}{2}b(2)^{2}+\dfrac{1}{2}(2)^{2}-2(2) \right]- \left[ 0 \right] &= \left[ \dfrac{1}{2}b^{2}+b \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-1)^{2}+(-1) \right] \\ 4 + 2b +2-4 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\ 2b +2 &= \dfrac{1}{2}b^{2}+b + \dfrac{1}{2} \\ 4b + 4 &= b^{2}+ 2b + 1 \\ b^{2} - 2b - 3 &= 0 \\ \left( b-3 \right)\left( b+1 \right)&= 0 \\ b=3\ \text{atau}\ b=-1 &
\end{align}$
Karena nilai $b \gt 0$ maka nilai $b=3$

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang sifat integral tentu;

• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
• $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$

$\begin{align}
\int \limits_{a}^{a+2} \left( 3x-2 \right)\ dx &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}x^{2}-2x \right]_{a}^{a+2} &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a+2 \right)^{2}-2\left( a+2 \right) \right]-\left[ \frac{3}{2}\left( a \right)^{2}-2\left( a \right) \right] &= 5 \\
\left[ \frac{3}{2}\left( a^{2}+4a+4 \right) -2 a-4 \right]-\left[ \frac{3}{2} a^{2}-2a \right] &= 5 \\
\frac{3}{2}a^{2}+6a+6 -2 a-4 - \frac{3}{2} a^{2}+2a &= 5 \\
6a+2 &= 5 \\
6a &= 3 \\
a &= \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \\
\hline 4a^{2}+1 &= 4\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}+1 \\
&= 4\left( \dfrac{1}{4} \right) +1 \\
&= 1 +1 =2 \\
\end{align}$

Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x^{2}-4$, yaitu:

$\left | x^{2}-4 \right |=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, \text{untuk}\ x^{2}-4 \geq 0 \\ -\left( x^{2}-4 \right), \text{untuk}\ x^{2}-4 \lt 0 \end{matrix}\right.$

• Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \geq 0$
  $\begin{align} x^{2}-4 & \geq 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \geq 0 \\ \hline x= 2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 2 & \\ \end{align}$
• Nilai $x$ untuk $x^{2}-4 \lt 0$
  $\begin{align} x^{2}- 4 & \lt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right) & \lt 0 \\ \hline x=2\ \text{atau}\ x= -2 & \\ \hline -2 \lt x \lt 2 & \\ \end{align}$
  

Untuk menyelesaikan integral di atas kita perlu menambahkan sedikit catatan tentang nilai mutlak $x-1$, yaitu:

$\left | x-1 \right |=\left\{\begin{matrix} x-1, \text{untuk}\ x-1 \geq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ -\left( x-1 \right), \text{untuk}\ x-1 \lt 0\ \text{atau}\ x \lt 1 \\ \end{matrix}\right.$

Untuk menyelesaikan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:

• karena $x=3y+3$, maka
  $ \begin{align}
  dx & = 3 dy \\ \dfrac{1}{3}dx & = dy
  \end{align} $
• batas bawah yaitu $y=1$ mengakibatkan $x=3y+3=6$
• batas atas yaitu $y=9$ mengakibatkan $x=3y+3=30$

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu;

• Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
• Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ adalah $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$

Kita ketahui bahwa "Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$"
Dimana suatu fungsi $f$ adalah periodik jika terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$.

Karena $f(x)=f(x+2)$, maka:
$ \begin{align}
f(x) &= f(x+2) \\ f(x+2) &= f(x+4) \\ f(x+4) &= f(x+6) \\ & \vdots \\ f(x) &= f(x+2a) \\ \end{align} $

Karena $f(x)=f(x+2a)$, maka $\int \limits_{0}^{2020} f(x+2a) dx = \int \limits_{0}^{2020} f(x)\ dx$

$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{2020} f(x) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2}^{4} f(x) dx + \cdots + \int \limits_{2018}^{2020} f(x) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{2-2}^{4-2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{2018-2018}^{2020-2018} f(x+2018) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} f(x) dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+2) dx + \cdots + \int \limits_{0}^{2} f(x+2018) dx \\ &= k + k + k + \cdots + k \\ &= 1010k
\end{align} $

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\ \int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\ \int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\ \left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\ \left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\ \left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\ -\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\ -\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\ a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\ a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Integral Fungsi yaitu Luas daerah yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.

Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\ px &= x^{2} \\ x^{2} - px &= 0 \\ x(x - p) &= 0 \\ x=0\ &\ x=p
\end{align}$

Luas daerah yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\ \dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\ 4 &= p^{2} \\ \pm \sqrt{4} &= p \\ \pm 2 &= p
\end{align}$

$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\ \left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\ \left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\ \left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\ \left [15-6p \right ] & = 3 \\ 15-3 & = 6p \\ 12 & = 6p \\ 2 & = p
\end{align} $

Hasil $\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini bisa kita tuliskan menjadi;
$\int \limits 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int \limits 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int \limits 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int \limits 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $

Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat tentang fungsi genap;

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x & = \left[\dfrac13x^3-3x\right]_{-1}^2 \\ & = \left(\dfrac13(2)^3-3(2)\right)-\left(\dfrac13(-1)^3-3(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac83-6\right)-\left(-\dfrac13+3\right) \\ & = \dfrac83+\dfrac13-6-3 \\ & = \dfrac93-9=-6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^2 (x^2-3)~\text{d}x = -6}$

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1)^2$ menggunakan $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a = -x^3$ dan $b = 2x-1.$
$$\begin{aligned} (-x^3+2x-1)^2 & = (-x^3)^2+2(-x^3)(2x-1)+(2x-1)^2 \\ & = x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1 \end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x & = \int_{-1}^1 (x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac17x^7-\dfrac45x^5+\dfrac12x^2+\dfrac43x^3-2x^2+x\right]_{-1}^1 \\ & = \left(\dfrac17(1)^7-\dfrac45(1)^5+\dfrac12(1)^2+\dfrac43(1)^3-2(1)^2+(1)\right)-\left(\dfrac17(-1)^7-\dfrac45(-1)^5+\dfrac12(-1)^2+\dfrac43(-1)^3-2(-1)^2+(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac17-\dfrac45+\dfrac12+\dfrac43-2+1\right)-\left(-\dfrac17+\dfrac45+\dfrac12-\dfrac43-2-1\right) \\ & = \dfrac27-\dfrac85+0+\dfrac83+0+2 \\ & = \dfrac{30}{105}-\dfrac{168}{105}+\dfrac{280}{105}+\dfrac{210}{105} \\ & = \dfrac{352}{105} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^1 (-x^3+2x-1)^2~\text{d}x = \dfrac{352}{105}}$

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x & = \int_1^4 \left(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac53x^3-\dfrac{6}{3/2}x^{3/2}+\dfrac{2}{-1}x^{-1}\right]_1^4 \\ & = \left[\dfrac53x^3-4x^{3/2}-\dfrac{2}{x}\right]_1^4 \\ & = \left(\dfrac53(4)^3-4(4)^{3/2}-\dfrac{2}{4}\right)-\left(\dfrac53(1)^3-4(1)^{3/2}-\dfrac{2}{1}\right) \\ & = \left(\dfrac{320}{3}-32-\dfrac12\right)-\left(\dfrac53-4-2\right) \\ & = \dfrac{315}{3}-26-\dfrac12 \\ & = 105-26-\dfrac12 \\ & = 78\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{1}^4 \left(5x^2-6\sqrt{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)~\text{d}x = 78\dfrac12}$

Diketahui $\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6$.
Misalkan $u = 5-x$ sehingga $\text{d}u = (-1)~\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x = -\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u = 5-x = 5-4 = 1$
Batas bawahnya menjadi
$u = 5-x = 5-1 = 4$.
Dengan demikian,>
$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^4 f(5-x)~\text{d}x & = \int_4^1 f(u)~(-\text{d}u) \\ \text{Balikkan batas}&~\text{integralnya} \\ & = -\int_1^4 f(u)~(-\text{d}u) \\ & = \int_1^4 f(u)~\text{d}u = 6 \end{aligned}$
Ingat bahwa:
$\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = \int_1^4 f(u)~\text{d}u}$
Catatan: Mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi.
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_1^4 f(x)~\text{d}x = 6}$

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^a (2x+3)~\text{d}x & = 6 \\ \left[x^2+3x\right]_1^a & = 6 \\ (a^2+3a)-((1)^2+3(1)) & = 6 \\ a^2+3a-10 & = 0 \\ (a+5)(a-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a = -5$ atau $a = 2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a = 2$.

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^4 (3x^2+px-3)~\text{d}x & = 68 \\ \left[x^3+\dfrac{p}{2}x^2-3x\right]_0^4 & = 68 \\ \left(4^3 + \dfrac{p}{ \cancel {2}} \cdot \cancelto {8}{4^2}-3(4)\right)-0 & = 68 \\ 64 + 8p-12 & = 68 \\ 52+8p & = 68 \\ 8p & = 16 \\ p & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{p=2}$

Ubah bentuk integrannya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}} & = \dfrac{2}{2\sqrt{x}} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\ & = x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2} \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x & = \int_9^{16} \left(x^{-1/2}+\dfrac12x^{1/2}\right)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac{1}{1+(-1/2)}x^{-1/2+1}+\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1+1/2}x^{1/2+1}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac12 \cdot \dfrac23x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left[2x^{1/2}+\dfrac13x^{3/2}\right]_9^{16} \\ & = \left(2(16)^{1/2}+\dfrac13(16)^{3/2}\right)-\left(2(9)^{1/2}+\dfrac13(9)^{3/2}\right) \\ & = 2(4)+\dfrac13(64)-2(3)-\dfrac13(27) \\ & = 8+\dfrac{64}{3}-6-9 \\ & = -7+\dfrac{64}{3} = \dfrac{43}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_9^{16} \dfrac{2+x}{2\sqrt{x}}~\text{d}x = \dfrac{43}{3}}$

Periksa pernyataan I:
Kelinearan dalam integral tidak berlaku untuk perkalian dua atau lebih fungsi. Dengan kata lain,
$$\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)~\text{d}x \neq \left(\int_a^b f(x)~\text{d}x\right)\left(\int_a^b g(x)~\text{d}x\right)$$
Periksa pernyataan II:
Pernyataan ini benar. Sifat ini dikenal sebagai kelinearan dalam integral (berlaku untuk penjumlahan dan pengurangan fungsi-fungsi).
Periksa pernyataan III:
Notasi akar dari fungsi (integran) tidak boleh ditarik keluar (kita seolah-olah mencari nilai dari integral tentu fungsi tersebut (tanpa notasi akar), lalu mengakarkan nilainya). Dengan kata lain,
$\displaystyle \int_a^b \sqrt{f(x)}~\text{d}x \neq \sqrt{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x}$
Jadi, hanya pernyataan II yang bernilai benar.

Cek pernyataan 1:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya adalah sebuah konstanta, dapat keluar dari posisinya sebagai integran.
Jadi, pernyataan 1 benar.
Cek pernyataan 2:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, integral dari penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah dari integral masing-masing fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menganggap $f(a)$ sebagai fungsi konstan.
Jadi, pernyataan 2 benar.
Cek pernyataan 3:
Berdasarkan sifat kelinearan integral, $g(a)$ yang bahwasanya merupakan suatu konstanta, dapat keluar masuk dari notasi integral tanpa memengaruhi hasilnya.
Jadi, pernyataan 3 benar.
Cek pernyataan 4:
Pernyataan 4 bernilai benar. Pernyataan 4 merupakan salah satu sifat dari kelinearan integral.
(Jawaban E)

Karena $\displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x = 1$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 f(x)~\text{d}x & = 1 \\ \int_0^1 (ax+b)~\text{d}x & = 1 \\ \left[\dfrac12ax^2+bx\right]_0^1 & = 1 \\ \dfrac12a(1)^2+b(1)-0 & = 1 \\ \dfrac12a+b & = 1 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $\displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x = 5$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^2 f(x)~\text{d}x & = 5 \\ \int_1^2 (ax+b)~\text{d}x & = 5 \\ \left[\dfrac12ax^2+bx\right]_1^2 & = 5 \\ \dfrac12a(2)^2+b(2)-\dfrac12a(1)^2-b(1) & = 5 \\ \dfrac32a+b & = 5 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ (membentuk SPLDV), kita peroleh nilai $a = 4$ dan $b = -1$. Jadi, nilai $\boxed{a+b=4+(-1) = 3}$

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_{-1}^3 3g(x)~\text{d}x & = -6 \\ \Rightarrow \int_{-1}^3 g(x)~\text{d}x & = -2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-1}^3 (2f(x)-g(x))~\text{d}x \\ & = 2 \int_{-1}^3 f(x)~\text{d}x-\int_{-1}^3 g(x)~\text{d}x \\ & = 2(3)-(-2) = 6+2=8 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^3 (2f(x)-g(x))~\text{d}x = 8}$

Diketahui:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x & = -17 \\ \int_5^2 f(x)~\text{d}x & = -4 \end{aligned}$
Karena $\displaystyle \int_5^2 f(x)~\text{d}x = -4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh $\displaystyle \int_2^5 f(x)~\text{d}x = 4.$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x & = \int_{-5}^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^5 f(x)~\text{d}x \\ & = -17 + 4 = -13 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-5}^5 f(x)~\text{d}x = -13}$

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x) = -f(x)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku, $\displaystyle \int_{-a}^a f(x)~\text{d}x = 0$, untuk $a$ bilangan real.
Diketahui $\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)~\text{d}x = 4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + \int_{-1}^1 f(x)~\text{d}x & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x + 0 & = 4 \\ \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)~\text{d}x = 4}$

Diketahui:
$\begin{aligned} 1)~\displaystyle \int_b^a f(x)~\text{d}x & = 5 \\ \implies \int_a^b f(x)~\text{d}x & = -5 \\ 2)~\int_c^a f(x)~\text{d}x & = 0 \end{aligned}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x & = \int_c^a f(x)~\text{d}x + \int_a^b f(x)~\text{d}x \\ & = 0+(-5) = -5 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_c^b f(x)~\text{d}x = -5}$

Fungsi $f$ disebut fungsi genap karena berlaku $f(x) = f(-x)$.
Karena itu, maka berlaku
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-3}^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ 2 \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 6 \\ \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \end{aligned}$
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + \int_2^3 f(x)~\text{d}x & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x + 1 & = 3 \\ \int_0^2 f(x)~\text{d}x & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_0^2 f(x)~\text{d}x=2}$